ARIMA

ARIMA

ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan ketepatan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung flat (mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang.

Model Autoregresif Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent).

Agar lebih paham bagaimana cara mendapatkan model ARIMA, langsung pada pembahasan contoh.

Terdapat data seperti berikut yang diambil dari buku Wei.

36.14   44.60   44.15   35.72

36.19   44.63   46.95   36.90

39.66   49.72   44.49   36.54

41.44   49.07   48.98   39.59

44.29   50.09   48.42   41.39

46.11   53.44   53.00   42.52

44.61   55.18   52.24   41.66

47.84   54.27   52.31   42.03

Stasioneritas dan Nonstasioneritas

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa kebanyakan deret berkala bersifat nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan deret berkala yang stasioner. Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut pada pokoknya tetap konstan setiap waktu. Langkah pertama sebelum memodelkan ARIMA adalah memeriksa stasioneritas datanya.

Berdasarkan data, diuji stasioneritas datanya dengan menggunakan Transformasi Box Cox pada software Minitab. Pada gambar di atas, diketahui bahwa selang kepercayaan melewati angka satu yakni -3,39 sampai 2,38. Hal tersebut menunjukkan bahwa data sudah stasioner terhadap varians.

Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah data sudah stasioner terhadap mean dengan menggunakan Autocorrelation Function (ACF) pada software Minitab seperti pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas, diketahui bahwa lag yang terbentuk nilainya semakin menurun dan cepat menuju nilai nol. Sehingga dapat dikatakan bahwa data sudah stasioner terhadap mean.

Suatu deret waktu yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi. Jika varians tidak stasioner, maka dilakukan transformasi logaritma. Namun karena data yang ada sudah stasioner terhadap varians maupun mean maka data tidak perlu ditransformasikan atau didifferencing.

Klasifikasi Model ARIMA

Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu: model autoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (autoregresive moving average) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama.

1) Autoregressive Model (AR)

Bentuk umum model autoregressive dengan ordo p (AR(p)) atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut:

X_t = µ' + φ₁ X_{t −1} + φ₂ X_{t − 2} + ... + φ_p X_{t − p} + e_t [0]

dimana:      µ' = suatu konstanta

                   φ_p = parameter autoregresif ke-p

                   e_t  = nilai kesalahan pada saat t

2) Moving Average Model (MA)

Bentuk umum model moving average ordo q (MA(q)) atau ARIMA (0,0,q) dinyatakan sebagai berikut:

X_t = µ' + e_t − θ₁e_t −1 − θ₂ e_t − 2 − ... − θ_q e_t − k

dimana:      µ ' = suatu konstanta

                   θ₁ sampai θ_q adalah parameter-parameter moving average

                   e_t-k = nilai kesalahan pada saat t – k

3) Model campuran

a. Proses ARMA

Model umum untuk campuran proses AR(1) murni dan MA(1) murni, misal ARIMA (1,0,1) dinyatakan sebagai berikut:

X_t = µ' + φ₁ X_{t −1} + e_t − θ₁ e_t −1

Atau

(1 − φ₁ B ) X_t = µ' + (1 − θ₁ B)e_t

                                                           AR(1)                       MA(1)

b. Proses ARIMA

Apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut:

(1 − B)(1 − φ₁ B) X_t = µ' + (1 − θ₁ B) e_t

                                        AR(1)                          MA(1)

         Untuk sementara model yang kita dapatkan apabila melihat gambar ACF adalah MA (1) karena lag pertama yang memotong garis merah putus-putus (cut off). Namun model yang didapat bisa banyak sekali. Oleh karena itu kita lakukan pemeriksaan model ARIMA juga melalui Partial Autocorrelation Function (PACF) pada gambar di bawah ini.

         Berdasarkan gambar di atas diketahui bahwa cut off di lag pertama dan bisa dikatakan data juga memiliki model AR (1). Oleh karena itu model yang kita dapatkan adalah model ARIMA (1, 0, 1).

Pengujian Asumsi

Setelah didapatkan model ARIMA (1, 0, 1) perlu dilakukan pengujian asumsi untuk didapatkan model ARIMA yang layak untuk digunakan.

a.       Uji L-jung Box

Hipotesis.

H₀ : Data White Noise

H₁ : Data tidak White Noise

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Lag	12	24	36	48
Chi-Square	16.2	24.6	*	*
DF	9	21	*	*
P-Value	0.063	0.625	*	*

Berdasarkan Tabel di atad diketahui bahwa P-Value lebih dari α sehingga gagal tolak H₀ yang berarti bahwa residual data sudah white noise.

b.      Semua Parameter Signifikan

Hipotesis.

H₀ : Tidak Signifikan

H₁ : Signifikan

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Type	Coef	SE Coef	T	P
AR 1	0.7493	0.1639	4.57	0
MA 1	-0.0234	0.2413	-0.1	0.923
Constant	11.0735	0.736	15.05	0
Mean	44.173	2.936

Berdasarkan Tabel di atas diketahui P-Value untuk MA 1  lebih dari α sehingga gagal tolak H₀ yang berarti bahwa parameter tidak signifikan. Oleh karena itu model ARIMA (1, 0, 1) tidak dapat digunakan untuk meramal.

Jika dilihat dari gambar PACF dapat diketahui kemungkinan model lain yang bisa digunakan adalah model ARIMA (1, 0, 0)

Uji Asumsi

a.       Uji L-jung Box

Hipotesis.

H₀ : White Noise

H₁ : Tidak White Noise

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Lag	12	24	36	48
Chi-Square	16.2	24.7	*	*
DF	10	22	*	*
P-Value	0.094	0.309	*	*

Berdasarkan tabel di atas diketahui bahwa P-Value lebih dari α sehingga gagal tolak H₀ yang berarti bahwa residual data sudah white noise.

b.      Semua Parameter Signifikan

Hipotesis.

H₀ : Tidak Signifikan

H₁ : Signifikan

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

Type	Coef	SE Coef	T	P
AR 1	0.7605	0.1212	6.28	0.000
Constant	10,5677	0.7075	14.94	0.000
Mean	44.131	2.955

Berdasarkan tabel di atas  diketahui P-Value kurang dari α sehinggatolak H₀ yang berarti bahwa parameter signifikan. 

c.       Uji Residual Berdistribusi Normal

Hipotesis .

H₀ : Berdistribusi normal

H₁ : Tidak berdistribusi normal

Tingkat Signifikan.

α = 5% = 0,05.

 

         Berdasarkan Gambar di atas didapatkan P-value sebesar 0.065 yang berarti bahwa gagal tolak H₀ pada tingkat signifikan 5%. Sehingga kesimpulan yang di dapat adalah residual data berdistribusi normal.

         Karena model ARIMA (1, 0, 0) sudah memenuhi semua asumsi maka model ARIMA sudah dapat digunakan untuk meramal.

Dan model yang didapat adalah Z_t = 10,5677 + 0,7605 Z_t-1

Dan hasil ramalan untuk 8 satuan waktu ke depan adalah sebagai berikut.

42.53322
42.91593
43.207
43.42838
43.59674
43.72478
43.82217
43.89623